波形发生器和频率分辨率

此篇报告的目的

本技术报告概述了如何用电化学工作站产生波形信号。此外,还讨论了“频率分辨率”一次,这一经常在规格书常常提到的名词。但是这一术语究竟描述的是什么?有什么意义。

介绍

进行EIS试验时,向测试体系施加不同频率下电位或电流正弦波信号。正弦波的公式如下:

 EIS Experiments sine wave signal with varying frequencies

以Et作为在时间t的施加信号,幅度E0和角频率ω。角频率也可以写成ω=2π·f的频率f。

因为对EIS的详细介绍不在本应用报告范围内,所以我们主要关注正弦波信号的生成方式。

请参考Gamry网站上相关应用报告 电化学阻抗谱原理

信号数字化和局限性

过去,波形信号是通过模拟方法产生的;较早的仪器使用锁相环(PLL)来创建正弦波。现在,信号已数字化。这意味着信号发生器以阶梯形式近似信号曲线(见图1)。每个单独阶梯的宽度(时间标度)和高度(幅度标度)取决于采样率和幅度分辨率。这些阶梯越小,信号再现越好。

sine wave digitized staircase

图1 正弦波图形,放大细节显示了其数字化阶梯形式

高频信号通常是电化学工作站的限制因素。采样率(也称为“时钟率”或“时钟频率”)起着重要作用。时钟频率不仅定义了产生信号的阶梯的宽度,还决定了能够达到的最大信号频率。通常,时钟频率fCLK必须至少是信号频率的两倍。极限频率也能奎斯特频率fNyuisit(见公式2)。

eq2 sinewave

图2更加详细的说明了这一点。红线代表目标正弦信号。黑点表示信号发生器的时钟频率,绿线表示实际信号。

clock frequency waveform generation

图2 时钟频率对波形产生的影响

如图2所示,如果信号频率f高于fNyquist(上),则无法产生正弦波,产生的只是恒定信号。如果信号频率等于(中)或低于fNyquist(下),则可以产生正弦波信号。

还能注意到,与信号频率f相比,更大的fCLK产生的正弦信号更好,因为有更多的点来构成信号。在第二种情况下(f=fNyuist),生成的信号只是一个三角波。因此fCLK往往要比目标频率大很多。

但是,不仅是始终频率限制了可用的频率范围。高频信号还意味着由控制放大器处理更快的信号变化(步长)。为了处理好这些信号,控制放大器的带宽需要足够高,以便可以正确调整信号施加在测试体系上。

其他决定可用频率范围的因素来自测试设置。电极线对信号的质量和带宽有巨大影响。诸如杂散电容和电感效应会极大地限制频率范围。

F更多关于仪器限制的详细介绍,请参考Gamry应用报告“准确度等高线图-测量和讨论”

与高频相反,低频信号由于过程缓慢很容易控制。低频没有仪器方面限制,但有实际限制。例如,一个10µHz的正弦信号会持续27小时。

波形产生

Gamry根据频率范围使用两种不同的方法来生成波形。直接数字合成器(DDS)正弦波发生器用于生成高频信号。数模转换器(DAC)用来生成低频信号。图3给出了这两种方法信号发生器的简化图。

diagram of a signal generator

图3 两种频率相关的正弦波生成方法的信号发生器简化图。详细信息,参考下文。

信号发生器的输出信号最终传递到控制放大器。它将信号施加到测试体系上,并通过静电计的输入相应地调整信号。

有关各种仪器术语和功能原理的详细介绍,请参考Gamry应用报告“ “了解电化学工作站规格参数”

以下各节将详细介绍这两种用于生成波形的方法。

高频信号

每个DDS波形发生器都有一个数字时钟输入。其参考时钟频率fCLK确定各个信号点之间的时间分辨率。

频率输入在“频率寄存器”中处理并读入“相位累加器”。顾名思义,它不使用正弦波模值,而是相位信息来生成波形。原因是正弦信号的模值不是线性的,因此很难生成。但是相位是线性的。因此更容易生成相位曲线,然后将其转换成正弦波信号。

相位累加器生成一个连续的数字相位信号,每个周期重复。相位的阶跃高度Dq由相位累加器的分辨率定义。例如,在使用32位分辨率时,相位信息被分为232部分。

Magnitude and phase behavior of a sine wave

图4 正弦信号幅值和相角的变化

可以通过控制相位位数来调整输出频率。这一参数又被称为“频率调谐字”(FTW)。每个适用频率值都有相对应的FTW值,该值存储在“频率寄存器”中(见图3)。输入频率输入值后,将从频率寄存器中检索相应的FTW值,然后将其读入相位累加器。然后相位累加器创建一个与输入频率相对应的相位信号。DDS的一般输出方程可以按如下表示(对于32位相位累加器)。

eq3 waveform

Δt是数字信号的阶跃宽度,通常表示为fCLK的倒数。

注意,如果相位累加器(FTW=232)扫描整个相位范围,则输出频率fout将等于DDS的时钟频率fCLK。然而,如上文和图2所述,不可能以该频率生成正弦波信号。因此,FTW值的范围从0到232-1(对于32位的相位累加器),并且覆盖可用相位位数的下半部分。这意味着只能生成最大频率为fNyuist的信号。

相位累加器的输出信号包含相位信息。必须将之转换成振幅才能产生正弦波信号。这在所谓的“正弦查找表”(sine-LUT)中完成。

该表中的每个相位值都分配有一个振幅值。在最后一步,转化成振幅值是在数模转换器(DAC)中处理。它生成具有所需频率的正弦波。

“带通滤波器”用于过滤掉不需要的部分,从而产生出平滑的输出信号。它消除了DDS输出的阶跃,并且防止信号漂移。以下段落更加详细的说明这一点。

图5显示了用IFC 5000测试的1MHz正弦波输出信号。蓝线是相位累加器之后的输出。请注意时钟频率为24MHz。因此单个正弦波信号显示24个信号阶跃。整个信号和高频噪声信号叠加在一起。相反,滤波后的输出信号(红线)是平滑的,阶梯形式几乎被完全滤除。此外,信号的噪声也大大降低。最后的输出信号更类似于模拟信号。

Sine wave output of an Interface 5000

图5 IFC 5000正弦波输出信号滤波前(蓝)和后(红)的信号

图6比较了图5中所示的两个正弦波信号的快速傅里叶变化(FFT)图。正弦波信号显示在频率域中,。图6A显示了未滤波的信号,图6B是滤波后的信号。

在频率为1MHz时,两张图都有一个主信号峰值,代表正弦波的基频。在正弦波基频的谐波处可以找到其他峰,在这种情况下,n乘以1MHz(n=2,3,4,…)。图6B中的这些峰值几乎都被过滤器完全滤除。

图6中未显示时钟频率(24MHz)附近的频率范围。通常,FFT图还会在这一频率出现一个很大的峰。然而这一部分也被滤除,通常不会影响所施加的信号的质量。

peaks filtered

FFT of sine wave output signal shown in Figure 5. (A) unfiltered signal, (B) fil

图6 正弦波输出信号的快速傅里叶转换图,A滤波前,B滤波后

最后一步,将滤波后的信号读入处理输入幅值的“衰减DAC”中。DDS输出信号始终以最大幅值生成。衰减DAC根据所需幅值调整幅值大小。信号发生器的输出信号传递到控制放大器中,在此将信号施加在测试体系上。

DDS的通用输出方程式(式3)也可用于计算其最小频率(FTW=1)。例如,带有32位相位累加器的24MHzDDS可产生最小频率大约5.6mHz的正弦波信号。这也是DDS的频率分辨率。所有更高频率都是该值的整数倍。

低频信号

如上文所述,DDS的最小频率取决于其时钟频率和相位累加器的分辨率。因此Gamry使用DAC生成较低频率(<100Hz)的波形信号,如图3所示。低频率波形更容易控制,因为与高频相比信号变化很小。DAC处理输入频率和幅值,并根据输入参数逐渐扫描信号。“低通滤波器”会在控制放大器处理输出信号之前对其进行平滑处理。

技术上没有限制但是实际有限制。如上文所述,在mHz范围内的正弦波需要几个小时。

总结

在应用报告介绍了电化学工作站是如何生成波形的。Gamry在高频信号上使用直接数字合成正弦发生器。但是,频率范围受其分辨率和采样率限制。因此逐渐扫描信号的数模转换器用于较低频率。

基本上,低频信号不是电化学工作站的限制因素。有更多实际原因的限制,因为实验可能需要很长的时间。相反,诸如采样率之类的因素限制了高频信号。此外,电极线和设置引起的电容和电感效应会严重影响信号的质量和带宽。

电化学工作站规格参数中经常提到“频率分辨率”一词。这可能引起误解,通常不能提供足够信息或不能完全指示仪器的性能。如果有的话,频率分辨率仅对高频信号有意义。衡量仪器EIS性能的最好方法是准确度等高线图(ACP)。